Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции?

Пусть известные значения некой функции f образуют последующую таблицу:

х x0 x1 xn
f(x) y0 y1 yn

При всем этом требуется получить значение функции f для такового значения аргумента х, которое заходит в отрезок [x0;xn], но не совпадает ни с одним из значений xi (i=0,1,…,n). Проще говоря Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции?, задачка интерполяции заключается в том, чтоб осознать какое у в точке х, еслт нет такового значения в измеренных данных.

Традиционный подход к решению задачки построения приближающей функции основывается на требовании серьезного совпадения значений f(x) и F(x) в точках xi(i=0, 1, 2, …, n), т.е.

F(x0)=y0, F Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции?(x1)=y1, …, F(xn)=yn

В данном случае нахождение приближенной функции именуют интерполяцией (либо интерполированием), а точки x0, x1, …, xn – узлами интерполяции. Геометрически это значит, что необходимо отыскать кривую y=F(x) некого определенного типа, проходящую через заданную систему точек Mi(xi,yi) (i=0,1,2,…,n). В случае, если x не Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? принадлежит [x0, xn] нахождение разыскиваемой функции именуют экстраполяцией. В предстоящем, под термином интерполяция будем осознавать как первую, так и вторую операции.

Более комфортной в практическом использовании функцией является алгебраический многочлен степени n :

Pn(x)=a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an

Чтоб задать многочлен n-ой степени довольно задать его Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? n+1 коэффициент. Значения многочлена просто рассчитываются, его просто продифференцировать, проинтегрировать и т.д. Потому алгебраические многочлены отыскали обширное применение для приближения функций.

1.Линейная интерполяция.

Итак, пусть мы имеем функцию, заданную таблично. Решая задачку интерполяции, найдем в таблице два примыкающих значения аргумента (обозначим их хk и xk+1), меж которыми лежит данное значение Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? х (хk

Уравнение Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? прямой – у=K*х +b.

По графику

«+» - не даст огромных погрешностей

«-» - нельзя использовать когда интервалы меж измерениями различные.

2.Квадратичная интерполяция.

Пусть опять дана функция f(x), данная таблично. Считая, что на промежутке (xk, xk+2) данную функцию с достаточной степенью точности можно поменять квадратичной функцией, другими словами часть графика функции можно поменять параболой Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? (см. рис. 3), нужно отыскать значение функции f(x) в некой точке x, принадлежащей интервалу (xk, xk+2).

Будем находить квадратичную функцию в последующем виде:

Исходя из условия совпадения значений разыскиваемой квадратичной функции с табличными значениями функции в 3-х данных точках, составим последующую систему уравнений:

Это система 3-х линейных уравнений Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? с 3-мя неведомыми a, b и с. Ее определитель не равен 0 (если только точки не лежат на одной прямой). Решая составленную систему уравнений матричным методом, получим последующую зависимость для коэффициентов а, b и с:

Таким макаром значение функции f(х) в точке х можно приближенно считать равным

Мысль аппроксимации эмпирических данных Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции?. Невязки. Когда может появляться необходимость в поиске простых эмпирических зависимостей? Как это сделать? Главные идеи формул расчета. Пример поиска определенной функции.

Задачка аппроксимации функции одной переменной с самого начала непременно учитывает нрав поведения начальной функции на всем интервале наблюдений. Формулировка задачки смотрится последующим образом. Функция у= f(х) задана таблицей

х Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? x1 х2 xn
f(x) y1 у2 yn

Нужно отыскать функцию данного вида: y=F(x), которая в точках x1, x2, …, xn воспринимает значения, как можно более близкие к табличным y1, y2, …, yn.

Мысль заключается в том, чтоб очень приблизить данные из таблицы (на графике это Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? звездочки) к прямой либо хоть какой другой функции, которая покажет рассредотачивание этих точек более близко.

Невязки. На графике это разница меж точкой на прямой и «звездочкой» (выходит опусканием перпендикуляра из звездочки к прямой).

Линейная функция (линейная регрессия).

Представим, что связь меж x и y линейна и разыскиваемую приближающую функцию будем находить Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? в виде:

Найдем личные производные по характеристикам:

Подставим приобретенные соотношения в систему вида :

Дальше имеем:

либо, деля каждое уравнение на n:

Введем обозначения:

Тогда последняя система будет иметь вид:

где xi, yi - значения из таблицы. Решив систему, получим значения характеристик a и b , а как следует, и определенный вид Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? линейной функции.

Невязка – разница меж эмпирическими значениями и значениями аппроксимирующих линий; либо разница меж наблюденными аппроксимирующих функций.

Поиск простых эмпирических зависимостей нужен чтоб упорядочить значения системы, поменять одну систему координат на другую.

Z = axm

lnz = lna + m lnx соответственно Y = AX + B – линейная зависимость, а х = lnx и у = lnz – логарифмич Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? подмена. Перебегаем к билогарифмированию:

В естествознании нередко употребляется способ меньших квадратов - способ оценивания характеристик приближающей функции, кот сводит к min сумму квадратов отклонений наблюдений зависимой переменной от значений разыскиваемой функции.

Почему появляется необходимость аппроксимационного подхода при обработке натуральных данных? Способы аппроксимации табличных данных. Невязки. Способ меньших квадратов. Графическая визуализация Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? идеи способа меньших квадратов.

Из курса арифметики известны 3 метода задания многофункциональных зависимостей:1) аналитический2) графический3) табличныйТабличный метод обычно появляется в итоге эксперемента.Недочет табличного задания функции состоит в том, что найдутся значения переменных которые неопределены таблицей. Для отыскания таких значений определяют приближающуюся функцию, именуемой аппроксмирующей, а действие Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? подмены аппроксимацией.

Задачка аппроксимации функции одной переменной с самого начала непременно учитывает нрав поведения начальной функции на всем интервале наблюдений. Формулировка задачки смотрится последующим образом. Функция у= f(х) задана таблицей

х x1 х2 xn
f(x) y1 у2 yn

Нужно отыскать функцию данного вида: y=F(x), которая в Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? точках x1, x2, …, xn воспринимает значения, как можно более близкие к табличным y1, y2, …, yn.

По таблице строится точечный график f(x), потом проводится плавная кривая, по способности лучшим образом отражающая нрав расположения точек. По приобретенной таким макаром кривой на высококачественном уровне устанавливается вид приближающей функции.

Разглядим набросок:

У Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? (а) У (b) У (с)


На рисунке изображены три ситуации:

1) график а - связь х и у близка к линейной; ровная линия тут близка к точкам наблюдений, и последние отклоняются от нее только в итоге сравнимо маленьких случайных воздействий.

2) график b - настоящая связь величин х и у описывается нелинейной функцией Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции?, и какую бы мы ни провели прямую линию, отклонение точек наблюдения от нее будет значимым и неслучайным. В то же время, проведенная ветка параболы довольно отлично отражает нрав зависимости меж величинами.

3) график с - очевидная связь меж переменными х и у отсутствует; какую бы мы ни избрали формулу связи, результаты ее параметризации будут Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? тут плохими. А именно, обе избранные прямые идиентично плохи для того, чтоб делать выводы об ожидаемых значениях переменной у по значениям переменной х.

Способ меньших квадратов

Способ меньших квадратов (МНК) - Способ оценивания характеристик приближающей функции, минимизирующий сумму квадратов отклонений наблюдений зависимой переменной от значений разыскиваемой функции.

Задачка приближения функции Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? f: для функции f, данной таблицей, отыскать функцию F определенного вида так, чтоб сумма квадратов Ф была меньшей.


Разглядим способ нахождения приближающей функции в общем виде на примере аппроксимирующей функции с 3-мя параметрами:

(1)

Пусть F(xi, a, b, c) = yi, i=1, 2, ..., n. Сумма квадратов разностей соответственных значений f Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? и F будет иметь вид:

(2)

Эта сумма является функцией Ф(а, b, c) 3-х переменных (характеристик a, b и c). Задачка сводится к отысканию ее минимума. Используем нужное условие экстремума:


Получаем систему для определения неведомых характеристик a, b, c.


(3)

Решив эту систему получим определенный вид разыскиваемой функции F(x, a Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции?, b, c). Как видно из рассмотренного примера, изменение количества характеристик не приведет к искажению сути самого подхода, а выразится только в изменении количества уравнений в системе (3).

Значения отысканной функции F(x, a, b, c) в точках х1, x2, ..., xn, будут отличаться от табличных значений y1, y2, ..., yn. Значения разностей Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? yi-F(xi,a, b, c)=ei (i=1, 2, ..., n) именуются отклонениями измеренных значений y от вычисленных по формуле (1). Для отысканной эмпирической формулы y=F(x) в согласовании с начальной таблицей можно, как следует отыскать сумму квадратов отклонений , которая в согласовании с способом меньших квадратов для данного вида приближающей функции Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? (и отысканных значений характеристик) должна быть меньшей. Из 2-ух различных приближений одной и той же табличной функции, следуя способу меньших квадратов, наилучшим необходимо считать то, для которого сумма (2) имеет меньшее значение.

6. Зачем нужен гармонический анализ? Главные расчетные формулы. Интерпретация приобретенных результатов. Многие природные процессы являются повторяющимися, т.е. воспроизводятся в Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? прежнем виде через определенный просвет времени Т (смена времен года, смена денька и ночи, длительность светового денька и т.д.). Исходя из убеждений арифметики, разные величины, связанные с рассматриваемыми повторяющимися процессами, по истечение периода Т ворачиваются к своим прежним значениям и являются повторяющимися функциями от времени t:

Гармонический Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? анализ – это процесс разложения повторяющейся функции в ряд Фурье (на гармоники). Гармоника (гармонические составляющие функции f(t)) – отдельные синусоидальные величины, входящие в состав тригонометрического ряда. Ибо повторяющаяся функция f(t) периода Т (при всем этом составляющие синусоидальные величины различных частот) может быть представлена в виде суммы конечного Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? либо нескончаемого огромного количества синусоид. Интерпретация приобретенных результатов: при помощи гармонического анализа можно выделить низко-, средне- и высокочастотные колебания, также оценить вклад отдельных гармоник в исследуемый процесс.

Задачка гармонического анализа заключается в построении фактически комфортных способов для приближенного определения коэффициентов ряда Фурье либо для конкретного вычерчивания гармоник разных порядков для Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? функции, данной таблично.

Пусть ф-ия f(x) – повторяющаяся с периодом 2π: f(x+2π)=f(x). Основная задачка гармонического анализа – представить ф-цию f(x) в виде ряда: , где коэф. ряда определяется по формулам Эйлера-Фурье: ; ;

Полагая что , , ряд можно представить в виде: , где - амплитуда гармоники, - фаза

Зачем нужен гармонический анализ Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции?? Главные расчетные формулы. Интерпретация приобретенных результатов. Как с помощью гармонического анализа можно выполнить фильтрацию временного ряда

Многие природные процессы являются повторяющимися, т.е. воспроизводятся в прежнем виде через определенный просвет времени Т (смена времен года, смена денька и ночи, длительность светового денька и т.д.). Исходя из убеждений арифметики, разные величины Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции?, связанные с рассматриваемыми повторяющимися процессами, по истечение периода Т ворачиваются к своим прежним значениям и являются повторяющимися функциями от времени t:

Гармонический анализ – это процесс разложения повторяющейся функции в ряд Фурье (на гармоники). Гармоника (гармонические составляющие функции f(t)) – отдельные синусоидальные величины, входящие в состав тригонометрического ряда. Ибо повторяющаяся Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? функция f(t) периода Т (при всем этом составляющие синусоидальные величины различных частот) может быть представлена в виде суммы конечного либо нескончаемого огромного количества синусоид. Интерпретация приобретенных результатов: при помощи гармонического анализа можно выделить низко-, средне- и высокочастотные колебания, также оценить вклад отдельных гармоник в исследуемый процесс.

Задачка гармонического Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? анализа заключается в построении фактически комфортных способов для приближенного определения коэффициентов ряда Фурье либо для конкретного вычерчивания гармоник разных порядков для функции, данной таблично. По этим коэффициентам можно судить о вкладе отдельных гармоник: если k≈0, то вклад гармоник малый, а если k≈1, то это главные гармоники. По Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? ним можно составлять догадки и процессооформирующих явлениях.

Пусть ф-ия f(x) – повторяющаяся с периодом 2π: f(x+2π)=f(x). Основная задачка гармонического анализа – представить ф-цию f(x) в виде ряда: , где коэф. ряда определяется по формулам Эйлера-Фурье: ; ;

Полагая что , , ряд можно представить в виде: , где - амплитуда гармоники, - фаза

Ряд Фурье и Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? гармонический анализ позволяют выполнить фильтрацию временного ряда. Напр.:

*Если обнулить n-компонент (с низкими частотами), то это частотная фильтрация;

*Если удалить все составляющие с некий высочайшей частотой, то это будет низкочастотная фильтрация;

*Обнулив компонент со значениями частот «от и до» - полосовая фильтрация.

Время от времени фильтрация с пропусканием больших Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? частот делается методом вычитания сглаженных величин из данного ряда, в рез-те в ряду остаются только высочайшие частоты.

1)Фильтрация низких и больших частот, в рез-те чего в ряду остаются средние частоты. Время от времени эти частоты получаются методом дополнительного сглаживания ряда данных, приобретенных методом вычитания начального сглаживания Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? величин из экспериментального ряда.

2)Есть фильтры дозволяющие усилить высочайшие частоты. Этим достигается ликвидация эффекта предшествующего сглаживания (процесс «обратного сглаживания»).

Простейшими фильтрами являются скользящая средняя и взвешенная скользящая средняя.

Зачем нужно осреднение? Главные расчетные формулы способа скользящего среднего и экспоненциального сглаживания. Интерпретация приобретенных результатов. Плюсы и недочеты данных 2-ух способов

Осреднение нужно Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? для исключения воздействия на анализ флуктуаций – короткопериодические колебания, неспешные постепенные конфигурации случайной переменной в течение всего анализируемого периода и колебания, хар-ся промежным временным масштабом.

Способ скользящей средней состоит в том, что для каждого аргумента берется средняя арифметическая на несколько примыкающих значениях функции.


, т.е. ;


Пропадут 1-ые v-точки Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? и последние v-точки: 2v-точки.

Используют для длинноватых рядов, где пропажа 2-ух последних 2v-точек ничего не решает. Типично для физ.-географов и не типично для эконом.географов, которые работают с маленькими рядами. Многоцелевой, просто программируемый способ, но велика возможность некорректности.

Способ взвешенной скользящей средней является более Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? четким, т.к. не связан с потерей последних значений. Для этих целей добавляют с обеих концов ряда по два члена, расчет делается по формуле:

Способ экспоненциального сглаживания. Пусть есть некий ряд , где i=1,2,..n. Тогда расчетные формулы имеют вид:

; … α и β > 0 α+β=1 α ~ 0,1-0,3 (т.е. берут значение в этом пределе Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции?) Чем меньше α, тем больше степень осреднения

Его достоинства заключаются в простоте вычислений, гибкости описаний динамик процессов. Способ экспоненциального сглаживания дает возможность получить оценку характеристик тренда, хар-щих не средний уровень процесса, а тенденцию, сложившуюся к моменту последнего наблюдения. Наибольшее применение способ отыскал для маленьких рядов в геоэкологии и эконом Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции?.географии. Для способа экспоненциального сглаживания главным и более сложным моментом является выбор параметра сглаживания α и исходных критерий.

Интерпретация приобретенных результатов: воспользовавшись рассмотренными способами, мы уменьшили, сжали набор приобретенных результатов и осреднили их, что освободило нас от ряда процессов обработки не настолько принципиальных результатов. (к примеру, для оценки численности населения не так принципиально Когда может возникнуть необходимость в линейной (квадратичной) интерполяции? И как это сделать? Основные формулы линейной (квадратичной) интерполяции? знать его ежедневное количество)


koefficient-tekushej-likvidnosti.html
koefficient-tyazhesti-karti.html
koefficient-vipuska-parka-na-liniyu.html